¿Puedes encontrar la función f(x) que cumple la siguiente propiedad, sabiendo que es un polinomio?$$\frac{f(x+y) - f(xy)}{3x} = f\left(\frac{y}{3x}\right) - 11 - y$$
SOLUCIÓN: nuestro polinomio será, para algún n natural, de la forma$$f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + ... + a_{n}x^{n}.$$ Vamos a sustituir esta expresión en la condición que nos dan en el enunciado:$$\frac{a_{0} + a_{1}(x+y) + a_{2}(x+y)^{2} + ... + a_{n}(x+y)^{n} - a_{0} - a_{1}xy - a_{2}(xy)^{2} - ... - a_{n}(xy)^{n}}{3x} = \\ = a_{0} + a_{1}\frac{y}{3x} + a_{2}\left(\frac{y}{3x}\right)^{2} + ... + a_{n}\left(\frac{y}{3x}\right)^{n} - 11 - y.$$ Esta ecuación se cumple para cualesquiera x e y (salvo x = 0, obviamente). Por lo tanto, podremos argumentar que los coeficientes de cada monomio en la expresión izquierda son iguales a los coeficientes de la derecha. Si nos fijamos en la parte derecha, no aparece ningún monomio que contenga únicamente x, por lo que los coeficientes de estas expresiones a la izquierda deben ser nulos. Estudiemos lo que ocurre para una de tales expresiones: xm, con 1≤m≤n. Dado que hay una x en el denominador, xm vendrá generado por un xm+1 en el numerador. En la segunda mitad, en la que aparecen restas, no hay ninguna expresión de esta forma, ya que siempre aparece la letra y acompañando a la x. Por lo tanto, el único coeficiente de xm+1 es el que aparece en am+1(x+y)m+1. Por ello, tenemos que am+1 = 0, para 1≤m≤n. Deducimos que el grado de nuestro polinomio tiene que ser igual o menor que 1:$$f(x) = a_{0} + a_{1}x.$$ La expresión de antes queda ahora muy simple:$$\frac{a_{0} + a_{1}(x+y) - a_{0} - a_{1}xy}{3x} = a_{0} + a_{1}\frac{y}{3x} - 11 - y.$$ Si operamos un poco más:$$\frac{a_{1}}{3} - a_{1}\frac{y}{3} = a_{0} - 11 - y.$$ Y, ahora, es claro que:$$\frac{a_{1}}{3} = a_{0} - 11.$$ y que$$- \frac{a_{1}}{3} = - 1.$$ De estas ecuaciones, deducimos que a0 = 12 y a1 = 3. Por lo tanto, la solución al problema es el polinomio$$f(x) = 12 + 3x.$$
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