Ayer descubrí en Mind your decisions un sistema de ecuaciones que había sido propuesto como ejercicio en una Olimpiada en Nepal. La solución que proponen me pareció muy elegante, así que la reproduzco aquí.
Dado el sistema:
¿Cuál es el resultado de
Intenta resolverlo por tu cuenta y, cuando estés listo para ver la solución, haz click en el botón y sigue leyendo.
Si intentas resolver el sistema para x, y, a y b, verás que no es sencillo. Lo que haremos será encontrar cuánto valen x+y, xy y a+b.
Multiplicamos las tres primeras ecuaciones por (x+y). De la primera, llegamos a (ax+by)(x+y) = 5(x+y), ax^2+by^2+axy+bxy = 5(x+y). Podemos usar la segunda ecuación para simplificar un poco: 10+(a+b)xy = 5(x+y).
Con la segunda, haciendo lo mismo y usando la tercera ecuación para simplificar, tenemos que 50+xy(ax+by) = 10(x+y). Usamos otra vez la primera igualdad y llegamos a 50+5xy = 10(x+y). Dividiendo para 5, 10+xy = 2(x+y).
Con la tercera, y por el mismo proceso, 130+xy(ax^2+by^2) = 50(x+y). Simplificando con la segunda ecuación: 130+10xy = 50(x+y). Dividiendo para 10, 13+xy = 5(x+y).
Si usamos los dos resultados de los últimos párrafos, podemos hallar los valores de x+y y de xy. Restamos las dos igualdades y tenemos que 3 = 3(x+y), es decir, x+y = 1. Por otra parte, 10+xy = 2, y tenemos que xy = -8.
Si sustituimos estos valores en el otro resultado hallado, 10+(a+b)xy = 5(x+y), llegamos a 10-8(a+b) = 5, por lo que a+b = 5/8.
Y, ahora, sólo nos queda sustituir en la fórmula que queremos calcular: 13(1+8)-120*5/8 = 13*9-15*5 = 42.
Y el problema queda resuelto.
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