Piensa en el número 61. Éste es uno de los números que pueden ser expresados como una suma de tres cuadrados: 9 + 16 + 36. Ahora bien, ¿qué ocurre con su cuadrado, 3721? ¡Resulta que también puede ser expresado como una suma de tres cuadrados! Por ejemplo, 576 + 1296 + 1849. ¿Ocurre esto siempre?
Demuestra que si un número entero es una suma de cuadrados de tres enteros positivos, entonces también lo es su cuadrado.
SOLUCIÓN: sea n un entero para el cual existen enteros a, b y c > 0 tales que n = a2 + b2 + c2. Elevamos al cuadrado esta expresión e intentaremos formar tres cuadrados con lo que nos quede: n2 = (a2 + b2 + c2)2 = a4 + 2a2b2 + 2a2c2 + b4 + 2b2c2 + c4 = (a4 + b4 + c4 + 2a2b2 - 2a2c2 - 2b2c2) + 4a2c2 + 4b2c2 = (a2 + b2 - c2)2 + (2ac)2 + (2bc)2. Ya tenemos una suma de cuadrados de tres números, pero ¿son los tres mayores que 0?
Obviamente, los dos últimos sí que lo son. En cuanto al primero, si a2 + b2 - c2 es negativo, no tenemos más que tomar -(a2 + b2 - c2), que sí que será positivo y se seguirá cumpliendo la propiedad. ¿Cómo evitar la otra posibilidad, que a2 + b2 - c2 = 0? Es suficiente con asumir que c es el más pequeño de los tres y así a2 + b2 - c2 será siempre positivo.
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