Tengo un reto matemático para ti. ¿Eres capaz de calcular cuál es el último dígito de 123456789123456789?
¿No te cabe en la calculadora? No te preocupes, podemos resolverlo echando mano de nuestra amiga la aritmética modular.
SOLUCIÓN: resolvamos este problema poco a poco. En primer lugar, es obvio que 123456789 es lo mismo que 123456780 + 9 ó, expresado de otra manera, 12345678*10 + 9. Es decir, tenemos que hallar la última cifra de (12345678*10 + 9)123456789. No parece que hayamos avanzado mucho, ¿no?
Este párrafo va a ser un poco técnico. Puedes saltártelo y leer la solución un poco más abajo. ¿Recuerdas esa fórmula que tuviste que aprender en el instituto del cuadrado de una suma: (a+b)2 = a2 + 2ab + b2? Quizás te suene la fórmula del binomio de Newton (o el teorema del binomio) si también te la hicieron memorizar, como a mí. Esta fórmula generaliza la del cuadrado que te acabo de mostrar y puede aplicarse a cualquier potencia natural n: $$(a+b)^{n} = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i} a^{i}b^{n-i}.$$ Es decir, es igual a una suma de la forma \(\binom{n}{0}\)bn + \(\binom{n}{1}\)abn-1 + \(\binom{n}{2}\)a2bn-2 + ... + \(\binom{n}{n-1}\)an-1b + \(\binom{n}{n}\)an. Y, ya puestos, aunque no lo necesitas para este problema, por si estás confuso y no sabes lo que significa cuando escribo cosas como \(\binom{n}{i}\), no es más que una forma chachi de decir $$\binom{n}{i} = \frac{n(n-1)(n-2)...(n-i+1)}{1*2*3* ... *(i-1)*i}.$$
Podríamos utilizar el binomio de Newton en nuestro problema: $$(12345678*10 + 9)^{123456789} = \sum_{i=0}^{123456789} \binom{n}{i} (12345678*10)^{i}9^{n-i}.$$ Tranquilo, que esa notación tan farragosa se acaba aquí. En esa suma, hay 123456789 términos que están multiplicados por un 10 y sólamente el primer término, cuando i = 0, no está multiplicado por 10. Ese término es 9. Ahora bien, si queremos hallar la última cifra, no nos interesa ningún sumando que sea producto de 10, ¿verdad? Porque esos sumandos afectarán a las decenas o más, pero no le harán nada a las unidades. En otras palabras, lo que queremos es la última cifra de 9123456789 (es decir, 9123456789 (mod 10)). Puedes echarle un ojo a lo que era eso de los módulos en el post que escribí sobre aritmética modular, pero nos basta con que pienses que "módulo 10 es lo mismo que el último dígito". Hemos reducido nuestro problema considerablemente.
Ahora veamos los últimos dígitos (los restos al dividir por 10) de las potencias de 9. En primer lugar, 90 = 1. La siguiente potencia es 91 = 9. Con 92 = 81, tenemos que la última cifra es un 1, es decir, 92 ≡ 1 (mod 10). Si te fijas, hemos vuelto a empezar en el 1, como en la primera potencia que teníamos. Si hacemos 93 = 729 ≡ 9 (mod 10), volvemos otra vez al 9. Siempre ocurrirá esto con las demás potencias. Tendremos que 9n ≡ 1 (mod 10) si n es par, y 9n ≡ 9 (mod 10) si n es impar.
Ahora ya lo tenemos resuelto, 9123456789 ≡ 9 (mod 10) porque 123456789 es impar. Es decir, 123456789123456789 ≡ 9 (mod 10). La última cifra de esa gran potencia es un 9.
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