15- Matemagia

Siguiendo con nuestro recorrido de curiosidades, hoy toca hablar de...

¡¡MAGIA!!

Hay trucos de magia que se basan en juegos de manos o complejos aparatos que tienen recovecos ocultos. Pero también hay muchos que utilizan propiedades de los números o resultados matemáticos provenientes del Álgebra o la Estadística, por ejemplo.

A continuación, expongo cuatro de estos trucos para que veas la importancia que tienen las matemáticas subyacentes. He elegido algunos de los más sencillos que conozco, para que la explicación sea simple y puedas seguirla.

• El número del billete: le pedimos a un voluntario que saque un billete, da igual su valor, y le pedimos que localice su número de serie, que es una ristra de números precedida por una o dos letras (dependiendo de si el billete es más o menos antiguo) que se encuentra en la parte de detrás del billete. Debe elegir uno de esos dígitos que sea distinto de 0, que será su número secreto. A continuación, nos lee el número de serie, saltándose su número secreto (¡y sin ni siquiera decirnos dónde está colocado!) Nosotros rápidamente adivinamos qué dígito era el elegido por nuestro voluntario. El truco está en la teoría de códigos, usada para numerar billetes, tarjetas de crédito, DNI's, etc. Si yo quisiera enviar un número de serie de un billete para comprobar algo (¿quién no ha hecho esto un viernes por la noche?), al tratarse de un número tan largo, es más que probable que me equivocara al transcribir algún dígito. Por ello, se añade un "dígito de chequeo", que, en este caso, son las letras del principio. Estas letras se comportan como números (A=2, B=3, C=4,...), por lo que un número de serie M157 sería equivalente a 14-1-5-7, porque la M es lo mismo que 14. Nota: usamos el alfabeto SIN la Ñ. ¿Y para qué sirve este dígito de chequeo? Simple, la suma de TODOS los números (incluidas las letras) debe ser un múltiplo de 9. Si me he confundido en un dígito, no saldrá múltiplo de 9 y detectaré que ha habido un error. Por ejemplo, aquí tengo un billete cuyo número de serie es XA3092722803. Comprobemos si la suma es múltiplo de 9: la X es lo mismo que 25 y la A, un 2. Así, 25+2+3+0+9+2+7+2+2+8+0+3 = 63, que es, efectivamente, un múltiplo de 9. ¿Cómo aplicamos esto a nuestro truco? Recordemos que el voluntario nos dirá todos los dígitos excepto uno. Por lo tanto, deberemos calcular mentalmente cuánto le falta a la cantidad que llevamos sumada para hacer un múltiplo de 9. Por ejemplo, si nosotros hemos ido sumando en nuestra cabeza los números que nos ha dicho (junto con las letras, recuerda) y hemos obtenido 68, sabremos que el número secreto es un... ¡4! Así de simple. En realidad, no hace falta sumar todos los dígitos, se puede usar un truquito basado en aritmética modular, que aunque no es nada complejo, prefiero dejar para otro día y no liar demasiado este truco.
• ¿Qué cartas faltan?: muy similar al anterior. Aunque se puede hacer con toda la baraja, vamos a hacerlo con una sin figuras (sota, reina y rey) para simplificar. Es decir, tenemos 40 cartas de 1 al 10. Para empezar, elegimos un voluntario (como en casi todo truco de magia) y le pedimos que escoja una carta (como en casi todo truco de magia). Nosotros también sacamos una PERO ni el voluntario ni nosotros debemos ver ninguna de las dos cartas, que dejaremos boca abajo encima de la mesa. Cogemos el resto de cartas y las vamos dejando una a una encima de la mesa, para que el voluntario las vea. Cuando acabamos, le decimos que, ya que acaba de ver todas las cartas, debería ser capaz de adivinar la suya.  Cuando haya aventurado un valor, miramos su carta para comprobar y decidimos darle otra oportunidad. Para ello, desplegamos en abanico todas las cartas sobre la mesa y le damos 10 segundos para que las vuelva a ver. A pesar de que a nuestro voluntario le cuesta adivinar su carta, nosotros no tenemos ningún problema en anunciar el valor de la nuestra. ¿Memoria prodigiosa? No, Matemáticas. ¿Cuánto suman las cartas de un palo? Aparecen los números del 1 al 10, por lo que sumarán 1+2+...+9+10 = 55. Como hay 4 palos, todas las cartas sumarán 55*4 = 220. La primera vez que pasamos las cartas para que las vea el voluntario, vamos sumando mentalmente los números. Cuando miramos la carta del voluntario, la sumamos también a nuestro total y podemos calcular el valor de nuestra carta (lo que falta para llegar a 220). De nuevo, se puede hacer de forma muchísimo más sencilla, pero por no liar lo dejamos así. Ahora bien, sabemos el número de nuestra carta, pero no el palo. Para eso, le hemos mostrado otra vez las cartas al voluntario. Buscamos las tres cartas de los otros tres palos con el mismo número y deducimos cuál es la carta que falta.
• Cuenta de Kruskal: este truco tiene numerosas versiones. Una que me gusta especialmente es la que se realiza con un texto literario (siempre utilizo los primeros párrafos de "A través del espejo" de Lewis Carroll). Sin embargo, hoy hablaré de la versión simple, con cartas. Sorprendentemente, el primer paso es elegir a un voluntario (lo sé, ¿quién podía imaginárselo?) Le pedimos que elija un número del 1 al 10. Nosotros vamos echando cartas boca arriba sobre la mesa. Si su número era el 4, deberá esperar hasta que echemos la cuarta carta y fijarse en su número, que se convertirá en su nuevo número. Nota: las figuras valen 5. Si, por ejemplo, es un 2, su próxima carta será la segunda que saquemos a partir de ahora. Nosotros seguimos echando cartas sobre la mesa y el voluntario sigue contando cartas y pasando de un número a otro hasta que la baraja se acabe y ya no pueda continuar. Nosotros somos capaces de adivinar cuál ha sido la última carta en la que se ha quedado. La idea por debajo se debe a Martin Kruskal, un matemático y físico americano, nacido en la primera mitad del siglo XX. Si nosotros escogemos también un número inicial y vamos haciendo lo mismo que el voluntario, hay una alta probabilidad de que acabemos en la misma carta. Sí, has leído bien: "probabilidad", lo que significa que este truco no funciona siempre. Depende de la configuración inicial de la baraja y de los números que elijamos el voluntario y nosotros. La probabilidad de acertar es de un 84%, bastante alta. Sin embargo, se ha observado que la gente suele escoger el número 7 como valor inicial, por lo que podemos usar esto a nuestro favor y escoger también el 7. Por otra parte, las probabilidades también varían dependiendo del número asignado a las figuras. Podríamos haberles dado su propio número (Sota=11, Reina=12 y Rey=13), pero ello hubiera significado una probabilidad final de 74%, un 10% menor que la que teníamos. También podríamos haber usado una variante y pedirle al voluntario que deletrease los números, siendo cada carta una letra. Esta variante tiene una probabilidad muy buena. Si te interesa, puedes leer el pequeño artículo del matemático James Grime, del cual soy un gran admirador, aquí.
• Código de De Bruijn: ésta es otra aplicación de la teoría de códigos. No es tan sencillo de entender como los anteriores, así que pasaré por encima del truco y sólo comentaré lo esencial. Lo más común es hacerlo con 4 ó 5 voluntarios. Es muy importante saber de antemano con cuántos se va a hacer, pues la preparación difiere. Veamos la versión más simple, con cuatro voluntarios (aunque es mucho más espectacular con cinco, te lo digo por experiencia). Le entregamos una pequeña baraja de 16 cartas al primer voluntario y le pedimos que corte tantas veces como quiera (importante: cortar, no barajar). Ahora, debe coger la primera carta y pasarle la baraja al segundo voluntario, que cogerá la carta de arriba y pasará el resto al tercer voluntario y así hasta que los cuatro hayan sacado cuatro cartas. Les pedimos que se fijen en el color de su carta y que levanten la mano si es roja (corazones o diamantes). Tras unos instantes, somos capaces de adivinar las cartas de los cuatro voluntarios. Todo se basa en la secuencia 1111 0000 1001 1010, la cual tiene la particularidad de que ninguna subsecuencia de 4 dígitos seguidos se repite. Los 1's representan cartas negras y los 0's, rojas. Deberemos haber preparado nuestra baraja de antemano con una combinación en la que se cumpla esa secuencia. Por ejemplo, 1T, 5P, 9T, KP, 2C, 6D, 10C, 1D, 3T, 7C, JD, 2P, 4T, 8C, QP y 3D (siendo T=tréboles, P=picas, D=diamantes, C=corazones). Cuando veamos quiénes de los voluntarios tienen cartas rojas, deberemos buscar esa subsecuencia de 4 en la grande de arriba y lograremos identificar las cartas. Dado que 16 son muy pocas cartas, podríamos preparar tres montones iguales de 16 cartas siguiendo esa misma serie de cartas (las cartas estarán triplicadas, pero no es muy probable que el público se entere) para tener 48, que se acerca a las 52 de una baraja normal y no se nota apenas la diferencia.