3- La incompletitud de Gödel

Cuando digo que he estudiado Lógica, mucha gente (prácticamente toda) se extraña y me pregunta que qué es eso y para qué sirve. Como es un campo muy amplio y del cual todavía desconozco muchos aspectos, les suelo contestar con una idea general sin entrar en ningún detalle: "es la ciencia de los razonamientos y la base de las Matemáticas". A veces, si les veo interesados, les hablo del teorema de incompletitud de Gödel, para que vean cómo puede afectar la Lógica a las Matemáticas.

En este mes de pequeños obsequios, he elegido este tema como primera curiosidad. Sin entrar en nada técnico, contaré por encima en qué consiste y qué supuso para el mundo matemático el descubrimiento de este resultado. Para mí, por ejemplo, fue una gran desilusión cuando leí sobre ello con 15 años.

¿Has oído hablar alguna vez de la paradoja del mentiroso? Es la situación que se da cuando alguien dice "Esta frase es falsa". No puede ser verdadera, porque entonces debería ser falsa. Pero tampoco puede ser falsa la frase, porque entonces debería ser cierta.

El punto clave del teorema de incompletitud se basa en algo muy parecido. En vez de "Esta frase es FALSA", Gödel encontró una fórmula equivalente en nuestro lenguaje normal a "Esta frase no se puede demostrar". Aquí, "frase" tiene un significado similar a un teorema matemático, que podemos demostrar. Veamos qué ocurre ahora y si se forma o no una paradoja como antes. Si la frase es falsa, entonces es mentira que no la podemos demostrar, por lo que SÍ que podemos encontrar una demostración. Pero en ese caso, dado que no podemos demostrar cosas falsas, deducimos que es verdadera, por lo que llegamos a una contradicción. Por lo tanto, tiene que ser VERDADERA, en cuyo caso es verdad que no podemos demostrarla. La solución es precisamente ésa, "Esta frase no se puede demostrar" es cierta e indemostrable.

- Pero, a ver, si acabas de demostrar que es verdadera. ¿Cómo va a no poder demostrarse?

Bueno, he hecho un poquito de trampa. La frase en realidad debería ser "Esta frase no se puede demostrar dentro del sistema formal X", pero no es tan corta como la otra. Por simplificar, un sistema formal es un conjunto de reglas con las que podemos construir demostraciones, como por ejemplo, la aritmética. Así, "demostrable" es "demostrable con esas reglas", por lo que la demostración de palabra que hemos visto antes de que la frase es verdadera no cuenta para considerar la frase demostrable. Los lógicos dicen que es una metademostración, es decir, fuera del sistema, pero no hace falta que te preocupes por eso.

- Uff, menudo lío. Déjame un poco, que me aclare. Entonces, la frase es verdadera pero no se puede demostrar con las reglas esas que dices. ¿Y qué reglas son?

Eso ya sería meternos en demasiado barro y hablar de fórmulas complicadas. Sólo diré que dependiendo del conjunto de reglas que elijamos, podremos o no construir como hizo Gödel una fórmula que diga "Esta frase no se puede demostrar". Y, si es posible construirla, malas noticias, como veremos en un momento.

- Pero, ¿por qué es tan importante esto? ¿Qué tiene que ver la frasecita con el nombre del teorema de incompletitud que has mencionado?

Tiene absolutamente todo que ver. Veamos, hemos visto que esta frase es cierta e indemostrable, ¿verdad? Entonces, sabemos que existe algo que no podremos demostrar. Ojo, no porque la demostración de ese algo sea extremadamente compleja y no se nos ocurra cómo hacerlo, sino porque esa demostración NO EXISTE. Cuando a un sistema le ocurre esto, decimos que es "incompleto".

Pues, bien, Gödel demostró que una de las teorías más básicas de las Matemáticas, la Aritmética de Peano, con unas reglas sencillas e intuitivas, era incompleta. En otras palabras, hay cosas que las Matemáticas no pueden demostrar, aunque sean ciertas. Nunca podremos acabar, completar, el conjunto de "verdades matemáticas" porque siempre nos faltará alguna fórmula que no podremos demostrar.

Esto supuso un tremendo mazazo para todos los matemáticos de la primera mitad del siglo XX. Algunos, como Russell y Whitehead habían dedicado esfuerzos enormes por encontrar un sistema sobre el cual se fundamentaran las Matemáticas y que todo lo que era cierto pudiese probarse. Gödel demostró que tal hazaña era imposible.