9- Paradojas

Hoy hablaremos de distintas paradojas que han tenido importancia en la historia de la Lógica o que, simplemente, me parecen divertidas. Algunas de ellas sólo las presento sin resolverlas, siéntete libre de preguntar o buscar más información si te interesa este tema.

• La paradoja del cretense: un hombre nacido en Creta afirma que todos los cretenses son mentirosos. ¿Pero esto no implica que él mismo es un mentiroso? ¿Por qué habríamos de fiarnos de él? Estrictamente hablando, ésta no es una verdadera paradoja, ya que podemos deducir que está mintiendo y que hay al menos un cretense que dice la verdad. Esta historia se suele relacionar con la paradoja del mentiroso: "Esta frase es falsa", que sí es un verdadero problema (de hecho, en cierta ocasión, se le pidió a un ordenador que obtuviera el valor de verdad de ese enunciado y se volvió loco incapaz de decidirse).
• La paradoja de la tarjeta: ésta es una variante de la paradoja del mentiroso, ya que algunos estudiosos afirmaron que tales paradojas sólo podían darse mediante enunciados que hablaran de sí mismos. La paradoja de la tarjeta aleja un paso esa autorreferencia: supongamos que tenemos una tarjeta escrita por ambos lados. En uno de ellos pone "La frase del otro lado de esta tarjeta es verdadera" y en el otro, "La frase del otro lado de esta tarjeta es falsa". Podemos ver que, en esencia, el problema existente es el mismo que en la paradoja del mentiroso: si cualquiera de las dos frases es verdadera, podemos deducir que tiene que ser falsa y viceversa.
• La paradoja del barbero: existe un pueblo en el que hay un único barbero. Este hombre afirma afeitar a todos y cada uno de los habitantes del pueblo que no se afeitan a sí mismos y a nadie más. ¿Puede existir tal barbero? La respuesta es que no, ¿quién, si no, afeita al propio barbero? Si se afeita él mismo, está violando sus normas, ya que afeita a alguien que se afeita a sí mismo; y si le afeita otra persona, también va en contra de sus reglas, pues es alguien que no se afeita a sí mismo y al que no afeita el barbero.
• La paradoja de Russell: una generalización de la anterior. Los conjuntos en Matemáticas son agrupaciones de elementos, como por ejemplo {1,2,3}, pero también puede haber conjuntos de conjuntos, como el formado por el conjunto {1} y el conjunto {2,3}: {{1}, {2,3}}. La pregunta es: ¿existe el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos? Supongamos que sí. Pero entonces, este conjunto, ¿se contiene o no a sí mismo? Si la respuesta fuese afirmativa, entonces, pertenecería a sí mismo, es decir, al conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos. En otras palabras, sería un conjunto que no se contiene a sí mismo, pero habíamos supuesto que sí que lo hacía. Contradicción. Si la respuesta fuese negativa, no se contendría a sí mismo. Pero entonces debería pertenecer al conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos, por lo que se contendría a sí mismo. Otra contradicción. Por lo tanto, tal conjunto no existe. Esta paradoja le sirvió a Russell para darse cuenta de un gran problema existente en las matemáticas de la época y le ayudó a formular su "teoría de tipos", que intentaba arreglar estas impurezas lógicas.
• La paradoja del Quijote: ésta es la primera paradoja que conocí cuando era pequeño. En el Quijote, mientras Sancho gobierna en la ínsula Barataria, se le presenta el siguiente problema. Para cruzar un puente, se le pide a los viajeros que formulen un enunciado. Si es verdadero, se les permite pasar; pero si es falso, se les lleva a la horca y se les ajusticia. Un hombre llegó al puente y dijo "Voy a morir en la horca". ¿Qué deben hacer los guardias? No pueden dejarle pasar, porque su enunciado sería falso, pero tampoco le pueden colgar, porque habría dicho la verdad. Sancho hace uso del principio "in dubio pro reo" y deja marchar al viajero.
• La paradoja de los adjetivos: los adjetivos calificativos definen propiedades del nombre al que acompañan. Pero, ¿puede un adjetivo definirse a sí mismo? La respuesta es sí. Por ejemplo, el adjetivo "esdrújulo" es un claro ejemplo de adjetivo esdrújulo. "Pentasílabo" (palabra de 5 sílabas) también se describe a sí misma. Otros ejemplos son "corto", "castellano", etc. ¿Se te ocurren más? A este tipo de adjetivos se les llama "autodescriptivos". El resto de adjetivos son "antiautodescriptivos" si no se describen a sí mismos. ¿Los adjetivos "autodescriptivo" y "antiautodescriptivo" de qué tipo son? "Autodescriptivo" podría ser de los dos tipos sin llegar a ninguna contradicción; pero "antiautodescriptivo" plantea problemas parecidos a los de la paradoja de Russell y el barbero.
• La paradoja de los números interesantes: hay números naturales que tienen propiedades ciertamente interesantes, como el 2, que es el único primo que además es par, o el 100, que es el primer número de tres cifras. Podríamos hacer una lista de todos esos números interesantes y otra lista con los que no lo son. En esta última lista de números "vulgares", habrá un número que será el más pequeño de todos. Pero esto precisamente lo hace interesante: es el más pequeño de todos los números vulgares. Así, debemos incluirlo en la primera lista y borrarlo de la segunda. Pero, nuevamente, hay un nuevo número que es el más pequeño de todos los vulgares y eso también lo hace interesante. Repitiendo este razonamiento, terminaríamos con la lista de los vulgares y llegaríamos a que todo número natural es, en cierta forma, interesante.
• La paradoja del enunciado contrario: consideremos la frase "Este enunciado tiene seis palabras". Es obviamente falso, ¿no? Por lo tanto, su contrario será verdadero. Pero "Este enunciado NO tiene seis palabras" también es falso. ¿Qué ocurre aquí?
• La paradoja del examen sorpresa: en una clase de matemáticas, el profesor advierte a los alumnos que pondrá un examen sorpresa durante la siguiente semana. Uno de los alumnos razona del siguiente modo: "Si llega el jueves y todavía no hemos tenido el examen, sabría con certeza que sería al día siguiente, el viernes. Pero entonces no sería sorpresa. Por lo tanto, el profesor no puede haber elegido el viernes como día para hacer el examen. Si el examen fuera el jueves, cuando llegara el miércoles y viéramos que no habíamos tenido el examen, dado que sé que no será el viernes, podría deducir que sería el jueves. Pero entonces tampoco sería sorpresa. Repitiendo este razonamiento varias veces, llego a que no puede poner el examen en ningún día de la semana sin que deje de ser sorpresa. Por lo tanto, ¡la sorpresa es que no hay examen!" El alumno no estudió en todo el fin de semana y se dedicó a leer relatos de Poe. Su sorpresa fue mayúscula cuando el martes su profesor le plantó un examen en su pupitre.