Palmadas a terceros- parte 3

Este post continúa el acertijo "Palmadas a terceros", que empieza AQUÍ.

Hemos visto ya una manera de resolver el problema. Pero como sucede en este tipo de acertijos, hay varios caminos para encontrar la solución. He querido, pues, añadir otra forma con propósitos ilustrativos.

En esta ocasión, no partiremos el problema entre las tres condiciones posibles, como hacíamos en la solución ya propuesta, sino que las trataremos como un todo. ¿Cuántos números cumplen que sean múltiplos de 3 o acaben por 3, pero no ambas?

Entre 1 y 10, hay 2 números: el 6 y el 9. Entre 11 y 20, hay 4: 12, 13, 15 y 18. Entre 21 y 30, hay 5: 21, 23, 24, 27 y 30. Y, una vez pasado 30, el ciclo vuelve a empezar. Entre 31 y 40, hay 2: 36 y 39. Entre 41 y 50, hay 4: 42, 43, 45 y 48. Y así seguiríamos...

Podemos, entonces, construir la secuencia 2, 4, 5, 2, 4, 5, 2, 4,... que se repite una y otra vez. Para hallar el número que buscamos (es decir, todos los números entre 1 y 10n), debemos encontrar el término que ocupe el lugar n-ésimo y sumarle todos los anteriores. Por ejemplo, para n = 7, el séptimo término es 2 y la suma de esos siete es 2 + 4 + 5 + 2 + 4 + 5 + 2 = 24. ¿Podemos construir una fórmula que exprese esta idea?

Como ves, la expresión 2 + 4 + 5 se irá repitiendo varias veces en la suma hasta que, en algún momento, quede cortada a mitad, como ocurría en nuestro ejemplo, que terminábamos en el 2. ¿Cuántas veces aparecerá 2 + 4 + 5 completo? Por ejemplo, cuando n = 7, lo teníamos 2 veces. En general, aparecerá ⌊n/3⌋ (recuerda que esto significa el valor entero de la división n/3).

Y nos queda la parte final de la suma, los sumandos que no logran formar un 2 + 4 + 5 completo, sino que se quedan a mitad. Esto depende del resto de la división n/3. Si ese resto es 1, entonces solo sumamos un 2; si es 2, sumamos 2 + 4; y si es 0, sumaríamos 0. Llamando al resto r, una expresión que cumple esto es r*(r + 1). Cuando r = 0, vale 0; cuando r = 1, vale 2; y cuando r = 2, vale 6.

Así, si llamamos q al cociente de la división n/3, y r al resto, la fórmula que buscamos es q*(2 + 4 + 5) + r*(r + 1), o, lo que es lo mismo:

11q + r*(r + 1)

Esta fórmula es equivalente a la otra que encontramos en el anterior post, solo que hemos seguido un camino diferente.

En los ejemplos propuestos en el enunciado, cuando n = 5, 10 y 53, las soluciones particulares son 17, 35 y 193, respectivamente.