Axiomas y teoremas

Seguro que has oído alguna vez la palabra "axioma", que es un término que se usa mucho en Matemáticas y Lógica. Pero, ¿sabes lo que es? ¿En qué se diferencia de un teorema? En este post, veremos de manera sencilla en qué consiste cada cosa.

Todo razonamiento tiene que partir de una base, algo que sea evidente y no se tenga que demostrar. Esto era, originalmente, el concepto de "axioma", la raíz de la cual surgen todos los demás resultados. Por ejemplo, "El 1 es un número natural". Sin embargo, más tarde, se tuvieron que aceptar como axiomas algunos enunciados que no eran nada evidentes, como el axioma de Elección. Por esto, la definición actual incluye únicamente el segundo aspecto, que no se deduzca del resto de axiomas.

Así, los axiomas son las premisas de un sistema deductivo. En Lógica, lo que se hace habitualmente es elegir un conjunto de axiomas y de reglas (otro día ya hablaré de lo que es esto) y ver qué se puede deducir. Dependiendo qué axiomas se elijan, algunos enunciados se pueden demostrar o no, tienen una demostración más simple o más compleja, etc. A veces, dos conjuntos distintos de axiomas son equivalentes, ya que a partir de ellos se pueden demostrar los mismos resultados.

El siguiente es un ejemplo muy simple, pero puede ayudar a comprender el concepto. Supongamos que tomamos como axiomas los enunciados "Todos los acertijos tienen solución" y "El problema de Marco Antonio y Cleopatra es un acertijo". De aquí, podemos deducir "El problema de Marco Antonio y Cleopatra tiene solución". Como digo, es un caso muy sencillo, que no deja de ser un razonamiento sin importancia. Pero con algo más complejo se podría construir un sistema deductivo más fuerte.

En Matemáticas, unos axiomas bastante famosos son los cinco que propuso Peano para definir la Aritmética de los números naturales. Dos de ellos son "El 1 es un número natural", que ya hemos nombrado arriba, y "Todo número natural tiene un sucesor". A partir de ellos, se puede deducir una buena cantidad de teoremas.

Otro axioma muy relevante es el de Elección que, como mencionaba más arriba, forma parte del grupo de axiomas no evidentes. De hecho, existen dos corrientes entre los matemáticos: los que lo aceptan y los que no. Cada uno desarrolla un tipo distinto de resultados, por lo que vemos la importancia de ser siempre conscientes de los axiomas de los que disponemos y hemos asumido.

Hemos mencionado varias veces que, a partir de los axiomas, llegamos a los resultados (lo que se llama de forma general "teoremas"), que son los enunciados que pueden demostrarse. Dada la inmensa variedad que existe, se suelen catalogar en cuatro tipos: lemas, proposiciones, teoremas y corolarios.

• Un lema es un resultado relativamente simple, que se va a utilizar para demostrar otros más complejos. A veces, suelen contenter las partes más técnicas de las demostraciones.

• Una proposición es un resultado más importante, que se ayuda de los lemas y que puede ser usado en distintas demostraciones.

• Un teorema es ya un RESULTADO en mayúsculas, para cuya demostración se suelen usar lemas y proposiciones. Muchos teoremas suelen tener un nombre, como el "teorema de los cuatro colores" o el "teorema de Pitágoras".

• Un corolario es algo que se deduce muy fácilmente de otro resultado, normalmente un teorema.

Espero que te haya gustado este post y te haya quedado clara la diferencia entre un axioma y un teorema (los axiomas son las premisas de las que surgen los resultados, entre ellos los teoremas) y los distintos tipos que existen.