Este acertijo es una generalización de "Monedas en el tablero de ajedrez", en el que las dimensiones eran 8x8.
En un tablero de ajedrez de mxn casillas, numeramos las filas y las columnas. En cada casilla, ponemos tantas monedas como la suma de los números que indican la fila y la columna de la casilla.
¿Cuántas monedas hay en total en el tablero?
SOLUCIÓN: tenemos que calcular la siguiente suma: $$\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{m} (i+j) = m\sum_{i=1}^{n}i + n\sum_{j=1}^{m}j.$$ Aplicando la fórmula de la suma de una serie aritmética, $$\sum_{i=a}^{b}i = (b-a+1)\frac{a+b}{2},$$ podemos simplificar nuestra expresión: $$m(n-1+1)\frac{1+n}{2} + n(m-1+1)\frac{1+m}{2} = $$ $$=mn\frac{n+1}{2} + mn\frac{m+1}{2}= $$ $$=\frac{mn}{2}(n+1+m+1) = \frac{mn}{2}(m+n+2).$$ Por lo tanto, en el tablero de nuestro acertijo el número de monedas es $$\frac{mn}{2}(m+n+2).$$ Observamos que la fórmula se cumple en el caso particular que ya vimos, cuando m=n=8, en el que había 32*18 = 576 monedas.
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