Dibujamos un rectángulo en un papel cuadriculado y observamos las casillas del interior. Si, por ejemplo, nuestro rectángulo es de 4x5, habrá 20 casillas.
Sombreamos a continuación todas las casillas que toquen a los lados del rectángulo. Dependiendo de cómo sea nuestra figura, habremos obtenido o no un rectángulo más pequeño de color blanco dentro de la parte sombreada.
Si queremos que el número de casillas sombreadas sea igual al número de casillas que quedan en blanco, ¿puedes calcular todas las soluciones posibles para las dimensiones del rectángulo? Y, si no es posible, demuestra por qué.
SOLUCIÓN: sea un rectángulo de lados a y b. El número total de casillas que contiene es ab. El número de casillas sombreadas, que recorre el perímetro, será 2a + 2b - 4.
Queremos que este número sea precisamente la mitad del total: 2a + 2b - 4 = ab/2. Operando un poco: ab - 4a - 4b = -8. La parte de la izquierda es casi igual que ab - 4a - 4b + 16, que es igual a (a - 4)(b - 4). Por lo tanto, sumamos 16 a cada lado de la ecuación y tenemos (a - 4)(b - 4) = 8.
Estamos trabajando con valores enteros, por lo que a - 4 y b - 4 tendrán que dividir a 8. Las dos únicas parejas de números que lo cumplen son (1, 8) y (2, 4). Sumando 4 a cada uno, llegamos a a = 5, b = 12 (o viceversa) y a = 6, b = 8 (o viceversa). Son las únicas soluciones posibles.
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