Mi viaje por el el archipiélago temporal continuaba. Si recuerdas, los habitantes de dicho lugar hacen enunciados verdaderos o falsos dependiendo del día. Existen diversos tipos de habitantes, según las reglas que sigan en cuanto a su veracidad.
Después de abandonar la cuarta isla, viajamos durante toda la noche en el barco, hasta que por fin llegamos a nuestro siguiente destino: la isla de los cumpleañeros. Los habitantes de este lugar se dividen en dos tipos. Por un lado, están los "cumpleañeros de tipo 1", que dicen la verdad el día de su cumpleaños y mienten el resto del año; y, por otro, los "cumpleañeros de tipo 2", que mienten en su cumpleaños y son veraces el resto del tiempo.
Intrigado por estos extraños personajes, decidí echar un vistazo a la isla. Las calles estaban decoradas por completo con motivos festivos y en los escaparates de las tiendas se vendían tartas de todos los tamaños y formas. Ciertamente, a los cumpleañeros les encantaba celebrar los cumpleaños.
En un puesto callejero, dos ancianos vendían confetti a los turistas que habíamos bajado del barco. Me acerqué y entablé conversación con ellos, decidido a averiguar de qué tipo era cada uno. La conversación ocurrió del siguiente modo:
A—. Hoy es mi cumpleaños.
B—. Mañana mi veracidad cambiará.
Esos dos enunciados me habían dado información muy valiosa, pero todavía no era capaz de resolver el problema por completo. Yo quería saber qué tipo de cumpleañeros eran cada uno de los dos y, además, si ese día estaban diciendo la verdad o mentían. Mi cara debía de reflejar mi confusión, porque los dos ancianos volvieron a hablar:
B—. Hoy no es mi cumpleaños o A es veraz hoy.
A—. Mañana podría decir que B es un cumpleañero de tipo 2.
Medité durante un rato, pero seguía sin ver la luz. Entonces, les pregunté "¿Cumplís años el mismo día?" Uno de los ellos, no recuerdo quién, me respondió con un rotundo "Sí". Y, con esa contestación, ya fui capaz de determinar todo lo que quería.
¿Qué tipo de cumpleañeros eran A y B? Y ese día, ¿eran veraces o mentirosos?
SOLUCIÓN: analicemos el problema poco a poco. Del primer enunciado de A, podemos deducir información muy valiosa. A puede estar diciendo la verdad o mintiendo. Si estuviese diciendo la verdad, es cierto que hoy es su cumpleaños. Tenemos que es un habitante que está diciendo la verdad el día de su cumpleaños, por lo que tiene que ser de tipo 1. Si, por el contrario, estuviese mintiendo, sería falso que hoy es su cumpleaños. Y A sería un habitante que está mintiendo un día en el que no es su cumpleaños: de nuevo, es de tipo 1. En cualquier caso, podemos deducir que A es de tipo 1.
Estudiemos ahora el primer enunciado de B, "Mañana mi veracidad cambiará". Tenemos dos casos. Si dice la verdad, mañana mentirá. En este caso, o bien hoy, o bien mañana, es el cumpleaños de B, ya que su veracidad solo cambia ese día. Si hoy es su cumpleaños, como está diciendo la verdad, sería de tipo 1; si es mañana, ya que mañana mentiría, sería de tipo 2. Estas son las opciones que encontramos si B está diciendo la verdad. Si, por el contrario, está mintiendo, mañana no cambiará su veracidad y seguirá mintiendo. Esto quiere decir que ni hoy ni mañana es su cumpleaños. Por esto mismo y porque está mintiendo, B sería de tipo 1. Recuerda estos casos posibles, que los usaremos en un momento.
El segundo enunciado de B, "Hoy no es mi cumpleaños o A es veraz hoy", nos dará más información. Supongamos, por un momento, que B estuviese mintiendo. Entonces tendríamos que hoy SÍ que es su cumpleaños y que A miente hoy. En particular, B miente y es su cumpleaños, por lo que es de tipo 2. Pero... en el anterior párrafo hemos visto que si B miente hoy, la única posibilidad es que sea de tipo 1. Tenemos una contradicción, B no puede estar mintiendo. B dice la verdad. Entonces, o bien hoy no es su cumpleaños (y, por el párrafo anterior, tendría que serlo mañana y B sería de tipo 2), o bien A es veraz.
Del segundo enunciado de A, "Mañana podría decir que B es un cumpleañero de tipo 2", podemos también deducir algunas cosas. Si dice la verdad, entonces mañana, que no es el cumpleaños de A y le toca mentir, el enunciado "B es un cumpleañero de tipo 2" será falso, por lo que tenemos que B es de tipo 1. Entonces, (Caso 1) A es de tipo 1 veraz y B, de tipo 1 veraz.
Si, por el contrario, A miente, mañana no podrá formular ese enunciado sin caer en contradicción y debemos estudiar si mañana es o no su cumpleaños. En el primer caso, mañana diría la verdad y como no podría decir "B es de tipo 2", tenemos que B sería de tipo 1. Entonces, A sería de tipo 1 mentiroso y B, de tipo 1 veraz. Pero aquí encontramos un pequeño problema: como A no es veraz, el segundo enunciado de B implicaría que hoy no es el cumpleaños de B y, por tanto, como hemos visto antes, que lo es mañana y que B es de tipo 2. Pero acabamos de obtener que es de tipo 1. No puede ser. Si, por el contrario, mañana no es el cumpleaños de A, tenemos que A mentirá. Ya que no podrá decir "B es de tipo 2", deducimos que B es, en efecto, de tipo 2. Entonces, (Caso 2) A es de tipo 1 mentiroso y B, de tipo 2 veraz.
En el Caso 1, tenemos que hoy es el cumpleaños de A, pero también el de B (ya que es de tipo 1). En el Caso 2, tenemos que mañana es el cumpleaños de B, pero ni hoy ni mañana es el de A. Es decir, en el Caso 1, los dos habitantes comparten cumpleaños; en el Caso 2, no.
Si a la pregunta "¿Cumplís años el mismo día?" la respuesta que obtuve, "Sí", me la hubiera dado A, no hubiera podido determinar nada más, ya que en el Caso 1 sería veraz y sería cierto que comparten cumpleaños y, en el Caso 2, sería mentiroso y sería falso. Sin embargo, si fuese B el que da la respuesta, entonces podría determinar cuál es el caso correcto. Ya dedujimos antes que B estaba diciendo la verdad, por lo que es cierto que comparten cumpleaños. Así, el Caso 1 es el correcto: A es de tipo 1 veraz y B, de tipo 1 veraz. Hoy es el cumpleaños de ambos y ha sido B el que ha respondido a mi última pregunta.
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